درسنامه آموزشی فصل سوم هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی
درس 3: قضیۀ نیمسازهای زوایای داخلی و محاسبۀ طول نیمسازها
1- قضیۀ نیمسازهای زوایای داخلی
قضیه 1: در هر مثلث، نیمساز هر زاویۀ داخلی، ضلع روبهرو به آن زاویه را به نسبت اندازههای ضلعهای آن زاویه تقسیم میکند.
$:\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ فرض
$:\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CD}}$ حکم
اثبات: مطابق شکل از نقطهٔ $C$ خطی موازی نیمساز $AD$ رسم میکنیم تا امتداد $AB$ را در نقطهٔ $E$ قطع کند.
الف) چرا $\widehat {{A_1}} = \widehat E$ و چرا $\widehat {{A_2}} = \widehat C$؟
$AD||EC\,\,,\,\,BE\,\, \to \,\,{\hat A_1} = \hat E$
$AD||EC\,\,,\,\,AC\,\, \to \,\,{\hat A_2} = \hat C$
ب) با توجه به فرض، چه نتیجهای دربارهٔ زوایای $E$ و $C$ میتوان گرفت؟
با توجه به فرض میتوان نتیجه گرفت که $\hat E = \hat C$
مثلث $AEC$ چه نوع مثلثی است؟
متساویالساقین است. (اگر در یک مثلث دو زاویه برابر باشند آن مثلث متساویالساقین است.)
پ) با توجه به قضیهٔ تالس در مثلث $(AD||EC)EBC$ نسبت $\frac{{BD}}{{CD}}$ با کدام نسبت برابر است؟ با توجه به نتیجهٔ قسمت (ب) اثبات را کامل کنید:
$\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CD}}$$AD||EC \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = $
یکی از نتایج فوری این قضیه این است که در هر مثلث به سادگی میتوان طولهای قطعاتی را که هر نیمساز روی ضلع مقابل ایجاد میکند با داشتن طولهای اضلاع مثلث، محاسبه کرد:
مثال: در مثلث $ABC$، $AB = 7$، $AC = 5$ و $BC = 8$ است. طولهای دو قطعهای را بهدست آورید که نیمساز زاویهٔ $B$ روی ضلع مقابل ایجاد میکند.
حل:
$\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{7}{8} \Rightarrow \frac{{AD + CD}}{{CD}} = \frac{{7 + 8}}{8} \Rightarrow \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{15}}{8} \Rightarrow $
$CD = \frac{{8 \times 5}}{{15}} = \frac{8}{3}\,,\,AD = AC - CD = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$
کار در کلاس (صفحه 71 کتاب درسی)
در شکل زیر نیمساز زاویهٔ $C$ را رسم کنید و طلهای دو قطعهای را بهدست آورید که این نیمساز روی $AB$ جدا میکند.
$\frac{8}{5} = \frac{{BD}}{{AD}}{\mkern 1mu} \Rightarrow \frac{{8 + 5}}{5} = \frac{{BD + AD}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{13}}{5} = \frac{7}{{AD}}$
$ \Rightarrow AD = \frac{{7 \times 5}}{{13}} = \frac{{35}}{{13}}$
$BD = 7 - \frac{{35}}{{13}} = \frac{{91 - 35}}{{13}} = \frac{{56}}{{13}}$
2- محاسبهٔ طول نیمسازهای زوایای داخلی مثلث
در مثلث $ABC$ برای محاسبهٔ طول نیمساز داخلی زاویهٔ $({\hat A_1} = {\hat A_2})\hat A$، یعنی $AD$، $AD$ را امتداد میدهیم تا دایرهٔ محیطی مثلث را در $E$ قطع کند و $E$ را به $C$ وصل میکنیم.
الف) چرا $\hat E = \hat B$؟
زیرا این دو زاویه هردو محاطی هستند و روبه یک کمان (کمان $AC$) هستند.
ب) چرا مثلثهای $ABD$ و $AEC$ متشابهاند؟
$\left. \begin{gathered}
\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} \hfill \\
\hat B = \hat E \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta D \sim A\mathop E\limits^\Delta C$
پ) نسبتهای اضلاع متناظر آنها را بنویسید.
$\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}}$
ت) از تناسب اول نتیجه میگیریم:
$AB.AC = AD.AE = AD(AD + DE) = A{D^2} + AD.DE$
و چون $AD.DE = BD.DC$ (چرا؟)
دو وتر $AE$ و $BC$ یکدیگر را در نقطهٔ $D$ درون دایره قطع کردهاند بنا بر قضیه داریم: $AD.DE = DB.DC$
بنابراین:
$A{D^2} = AB.AC - BD.DC$
مثال: در مثلث $ABC$، $AB = 3$، $AC = 5$ و $BC = 7$ است. طول نیمساز زاویهٔ $A$ را بیابید.
حل: به کمک قضیهٔ (1) طولهای $BD$ و $CD$ را بهدست میآوریم:
$\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{BD + CD}}{{CD}} = \frac{8}{5}$
$ \Rightarrow \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{8}{5} \Rightarrow \frac{7}{{CD}} = \frac{8}{5} \Rightarrow CD = \frac{{35}}{8}\,\,,\,\,BD = 7 - \frac{{35}}{8} = \frac{{21}}{8}$
حال با توجه به قضیهٔ (2) داریم:
$A{D^2} = ABAC - BD.CD = 3 \times 5 - \frac{{35}}{8} \times \frac{{21}}{8} = $
$15 - \frac{{735}}{{64}} = \frac{{225}}{{64}} \Rightarrow AD = \frac{{15}}{8}$
تمرین (صفحه 72 کتاب درسی)
1- در مثلث $ABC$، $M$ وسط $BC$ و $MP$ و $MQ$ نیمسازهای زوایای $AMC$ و $AMB$ هستند؛ ثابت کنید: $PQ||BC$
$\left. \begin{gathered}
MP \Rightarrow \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{AP}}{{PC}} \hfill \\
MQ \Rightarrow \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AQ}}{{QB}} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \frac{{AP}}{{PC}} = \frac{{AQ}}{{QB}} \to PQ||BC$
2- در مثلث $ABC$، $AB = 7$ و $AC = 4$ و $BC = 10$ است. طول نیمساز زاویهٔ داخلی $C$ را بهدست آورید.
$CD:\frac{4}{{10}} = \frac{{AD}}{{DB}} \Rightarrow \frac{{4 + 10}}{{10}} = \frac{{AD + DB}}{{DB}} \to $ نیمساز زاویه $C$ است.
$\frac{{14}}{{10}} = \frac{7}{{DB}} \Rightarrow \frac{{7 \times 10}}{{14}} = 5\,\,\,\,\,AD = 7 - 5 = 2$
3- با پر کردن جاهای خالی با فرض اینکه در شکل زیر $AD$ نیمساز زاویهٔ $\hat A$ است، روش دیگری برای اثبات قضیهٔ نیمسازهای زوایای داخلی ارائه کنید:
الف) چرا $DH = DH'$؟
چون نقطه $D$ روی نیمساز زاویه $A$ قرار دارد. طبق خاصیت نیمساز، از دو ضلع زاویه $A$ به یک فاصله است.
ب)
$(1)$ $\frac{{\frac{1}{2}DH' \times AB}}{{\frac{1}{2}DH \times AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$$\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ACD}}}} = $
$(2)$ $\frac{{\frac{1}{2}BD \times AH''}}{{\frac{1}{2}CD \times AH''}} = \frac{{BD}}{{CD}}$$\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ACD}}}} = $
از مقایسه (1) و (2) نتیجه میشود: $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CD}}{\mkern 1mu} $